Lesson 9

\[\begin{align*}\binom{\frac{1}{2}}{n}&=\frac{1}{n!}\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\dotsb\left(-\frac{2n-3}{2}\right)=\\&=\frac{(-1)^{n-1}}{2^nn!}(1\cdot 3\cdot 5 \dotsb (2n-3))=\\&=\frac{(-1)^{n-1}}{2^nn!}\frac{(2n)!}{(2n-1)2^nn!}=\\&=\frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^24^n}=\\&=\frac{(-1)^n}{(1-2n)4^n}\binom{2n}{n}\ .\end{align*}\] Therefore, \[\sqrt{1+x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(1-2n)4^n}\binom{2n}{n}x^{n} \ .\]